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«Vom Fachbereich Mathematik der Universität Duisburg-Essen, Campus Duisburg zur Erlangung des akademischen Grades eines Dr. paed. genehmigte ...»

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Charakteristiken idealtypischer Bilder von Nachhilfeunterricht

in Dependenz schulischen Mathematikunterrichts

Vom Fachbereich Mathematik der

Universität Duisburg-Essen, Campus Duisburg

zur Erlangung des akademischen Grades eines

Dr. paed.

genehmigte

Dissertation

von

Klaus Sieber

aus

Bochum

Referent: Prof. Dr. Günter Törner

Korreferent: Prof. Dr. Lisa Hefendehl-Hebeker

Tag der mündlichen Prüfung: 2. März 2006

Charakteristiken idealtypischer Bilder von Nachhilfeunterricht in Dependenz schulischen Mathematikunterrichts Inhaltsverzeichnis Einleitung 1 Teil I Idealtypische Bilder schulischen Mathematikunterrichts von Freudenthal, Heymann, Schoenfeld und Winter 2 1. „Nacherfinden“ von Freudenthal 4 1.1 Selbsttätigkeit 6 1.2 Subjektorientierung 6 1.3 Prozess- und problemorientierte Interaktionen 7 1.4 Strukturdenken 7 1.5 Entdeckende Bildungsprozesse 9 1.6 Anwendungsorientierung 10 2. Allgemeinbildung nach Heymann 12 2.1 Selbsttätigkeit 13 2.2 Subjektorientierung 14 2.3 Prozess- und problemorientierte Interaktionen 15 2.4 Strukturdenken 15 2.5 Entdeckende Bildungsprozesse 16 2.6 Anwendungsorientierung 17 3. “doing mathematics“ von Schoenfeld 19 3.1 Selbsttätigkeit 20 3.2 Subjektorientierung 21 3.3 Prozess- und problemorientierte Interaktionen

–  –  –

17. Idealtypische Bilder und Schülererwartungen 178 18. Überblick über die Charakteristiken idealtypischer Bilder von Nachhilfeunterricht 182

–  –  –

Einleitung Es ist das Untersuchungsziel, qualitative Ansprüche an Nachhilfeunterricht zu formulieren und durch Vergleiche zu bestehenden an schulischen Mathematikunterricht zu bewerten.

Stellt man sich diesem Ziel, so fällt auf, dass es für den schulischen Mathematikunterricht unzählige fachdidaktische Bemühungen gibt, um dem Lehrenden Orientierungshilfen an die Hand zu geben, sich aber Nachhilfeunterricht weitgehend dem wissenschaftlichen Forschungsinteresse entzieht. Ein Grund hierfür mag der sein, dass Nachhilfe als bildungspolitisches Problem angesehen wird und daher negativ behaftet ist. So sollte Schulunterricht Nachhilfe erübrigen. Die Erfahrung zeigt jedoch, dass immer dort, wo Unterricht zum Erreichen eines Bildungsabschlusses durchgeführt und Leistungen beurteilt werden, es auch Lernende gibt, die zusätzliche Förderungen wahrnehmen wollen. Nachhilfe verhält sich somit keinesfalls gegensätzlich zum Schulunterricht oder ist eine zu vernachlässigende Erscheinung, sondern vielmehr ein wichtiger und fester Bestandteil des Bildungsangebots.

Um qualitative Ansprüche an den Nachhilfeunterricht formulieren zu können, ist es nahe liegend, als Basis auf die vorhandenen Kenntnisse für den Schulunterricht zurückzugreifen. Zwar sind die beiden Unterrichtsformen verschieden, weisen aber eine entscheidende Gemeinsamkeit auf: In ihnen findet Lernen und Lehren statt. Grundsätzliches, wissenschaftlich anerkanntes Wissen über das Lernen und Lehren im Schulunterricht gilt daher auch für Nachhilfeunterricht. Wie noch begründet wird, kann dieses Wissen in die Dimensionen ‚Selbsttätigkeit’, ‚Subjektorientierung’, ‚Prozess- und problemorientierte Interaktionen’, ‚Strukturdenken’, ‚Entdeckende Bildungsprozesse’ und ‚Anwendungsorientierung’ eingeordnet werden. Diese Dimensionen sind als Etiketten anzusehen, die auf Schubladen stehen, deren Inhalte für beide Unterrichtsformen zum großen Teil andersartig zu füllen sind.

Für Schulunterricht ist dazu auf bereits vorhandene mathematikdidaktische Literatur zurückzugreifen.

Explizit geschieht dies durch die Vorstellungen von Unterricht, hier wie in mathematikdidaktischer Literatur üblicherweise benannt als ‚idealtypische Unterrichtsbilder’, der Autoren Hans Freudenthal, Hans-Werner Heymann, Alan H. Schoenfeld und Heinrich Winter. Deren Unterrichtsbilder werden zunächst isoliert voneinander vorgestellt und dann in einem Konsens gebündelt. Damit sind allgemein anerkannte wissenschaftliche Ansprüche an schulischen Mathematikunterricht gestellt, d.h. die Inhalte zu den Dimensionen für Schulunterricht festgehalten.

Für Nachhilfeunterricht werden die Dimensionen bei gleicher Etikettierung in drei Fallstudien bestehend aus der Durchführung von Zusatzunterricht, dessen Aufzeichnung und Auswertung sowie aus Analysen des Unterrichtsgeschehens inhaltlich gefüllt.

Wie sind die erstellten Charakteristiken idealtypischer Bilder an Nachhilfeunterricht zu bewerten?

Dazu sind die einzelnen Schubladeninhalte beider Unterrichtsformen nebeneinander zu stellen und zu vergleichen. D.h. es ist zu vergleichen, welche inhaltlichen Ansprüche an schulischen Mathematikunterricht und welche an Nachhilfeunterricht gestellt sind, welche Methoden geeignet sind und welche Zielsetzungen verfolgt werden.

Diese vergleichenden Gegenüberstellungen werden zeigen, dass beide Unterrichtsformen Vorteile bieten, bestimmte Ansprüche besser als die jeweils andere erfüllen zu können. Abschließend ist daher eine Empfehlung erstellt, wie Schul- und Nachhilfeunterricht (Letzteres in Form schulischen Zusatzunterrichts) verlaufen sollten, damit beide Lernformen optimierte Möglichkeiten zur Annäherung an idealtypische Bilder bieten.

–  –  –

Idealtypische Bilder schulischen Mathematikunterrichts von Freudenthal, Heymann, Schoenfeld und Winter Die folgende voneinander isolierte Darstellung idealtypischer Bilder schulischen Mathematikunterrichts der Autoren Freudenthal, Heymann, Schoenfeld und Winter ist erstes Untersuchungsziel auf dem Weg zum bewertenden Vergleich von Ansprüchen an den Schul- und Nachhilfeunterricht. Die





Beschreibungen erfolgen daher unter zweierlei Gedanken:

Erstens ist für eine wissenschaftlich anerkannte Basis zu sorgen, auf der eine spätere Konsensbildung von den vier Unterrichtskonzeptionen fußt. Dem wird durch die kompakte Wiedergabe, mit der Beschränkung auf die wesentlichen Charakteristiken der Unterrichtsvorstellungen eines jeden einzelnen Autors genüge getan. Insbesondere werden dabei die unterschiedlichen Intentionen deutlich gemacht.

Dazu ist den Darstellungen der Unterrichtsvorstellungen jeweils ein Steckbrief vorangestellt.

Zweitens ist die Auswahl der Autoren zu begründen. Denn das Bestreben, Leitlinien für einen qualitativ hochwertigen Mathematikunterricht zu erstellen, ist das bestimmende Ziel mathematikdidaktischer Forschung.1 Trotz ihrer angesprochenen verschiedenen Intentionen beziehen sich die idealtypischen Bilder der vier Autoren gleichermaßen auf die in der Einleitung genannten Dimensionen bzw. Etiketten. Dieser Umstand ermöglicht im weiteren Untersuchungsverlauf überhaupt die Konsensbildung der idealtypischen Bilder in wiederum den gleichen Dimensionen. Wegen der großen Bedeutung der EtiDies verdeutlicht der folgende Auszug idealtypischer Unterrichtsbilder, deren ‚Namen‘ Schlagwörter sind, die man mit ihnen verbindet: „Allgemeinbildung durch Mathematikunterricht“ (Baireuther [1994]), „Verständnisvolles Lernen“ (Baumert/Köller in Baumert/Bos/Lehmann [2000], S. 273 ff.), drei Konzepte idealtypischer Unterrichtsbilder mit dem Schlagwort ‚Offener Mathematikunterricht‘ (Fischer/Malle, [1985], ACDCA (Austrian Center for Didactics of Computer Algebra, u. a. Heugel [2000] und Kerbler [2000])1, Voigt [1996]), „Nacherfinden“ (Freudenthal [1977]), „Leitlinien für das Erklären von Mathematik und klares Unterrichtsverhalten“ (zusammengesetzt aus Arbeiten von Hefendehl-Hebeker [1996] und [2000]), „Mathematikunterricht unter dem Anspruch von Allgemeinbildung“ (Heymann [1996]), „Elemente einer förderlichen Unterrichts- und Prüfungskultur“ (Krainer [1999] zum Projekt IMST basierend auf TIMSS-Aufgaben), „Reflektierendes Lernen“ (Kügelgen [1994]), „Grundvorstellungskonzept“ (Vom Hofe [1995a]), „Lebendiges Mathematiklernen“ (Lengnink/Prediger [1999], hier auch „TZI – Themenzentrierte Interaktion“), „10 Jahre „mathe 2000“ “ (Müller/Steinbring/Wittmann [1997]), „doing mathematics“ (Schoenfeld [1991], [1998]) oder „Entdeckendes Lernen“ (Winter [1989]). Neben diesen Gesamtkonzepten gibt es fachdidaktische Literatur, die von einer Sichtweise ausgehend ein oder mehrere Elemente aus idealtypischen Unterrichtskonzepten betont (z.B. „Anwendungsbezüge im Mathematikunterricht“ (Blum [1994]), „konstruktivistischer Mathematikunterricht“ (Cobb/Wood/Yackel in Voigt [1994]) oder „Anschauung und Veranschaulichungsmittel im Mathematikunterricht“ (Lorenz [1998]).

ketten als Struktur gebende Komponenten für die gesamte Untersuchung sind sie an dieser Stelle

wiederholt2:

- Selbsttätigkeit als Etikett für die Rolle des Schülers

- Subjektorientierung als Etikett für die Haltung des Lehrers

- Prozess- und Problemorientierung als Etikett für Interaktionen

- Strukturdenken als kognitives Etikett

- Entdeckende Lernprozesse als Etikett für Bildung

- Anwendungsorientierung als Etikett der Wirklichkeitsnähe von Mathematik Nicht nur, weil sich die idealtypischen Bilder der Autoren Freudenthal, Heymann, Schoenfeld und

Winter gleichermaßen diesen Dimensionen zuordnen lassen, ist die Wahl auf sie gefallen:

Die Unterrichtsideale der vier Autoren repräsentieren die Bewegung zu einer anderen Form des mathematischen Schulunterrichts unter verschiedenen Blickwinkeln. Freudenthal ist früher Vertreter der ‚neuen‘ Unterrichtsprinzipien mit wissenschaftsorientiertem Schwerpunkt3. Letztlich bildet er einen, wenn nicht den Grundstein, auf dem die Diskussionen auch heute noch gründen. Ohne die Entwicklung persönlich miterlebt zu haben, bestimmen daneben Winters Bilder idealtypischen Mathematikunterrichts die Fachdidaktik seit den Achtzigern. Deren vorrangig methodische Intention ist durch die Verbindung von wissenschaftsorientierten und utilitaristischen Zielsetzungen zu beschreiben.4 Heymann generiert sein Konzept aus einem ganz anderen, pädagogisch-erziehungswissenschaftlichen Blickwinkel, und Schoenfeld ist als führender Vertreter der Mathematikdidaktik aus dem englischsprachigen Raum prägend für die aktuellen fachdidaktischen Diskussionen.

Vor dem Einstieg in idealtypische Unterrichtsbilder noch ein begrifflicher wie auch intentionaler Hinweis: Der Begriff ‚idealtypische Unterrichtsbilder’ (von z. B. Freudenthal) macht deutlich, dass es um gedankliche Idealvorstellungen geht. Es handelt sich dabei also nicht um einen Katalog von Anforderungen, den es im Unterricht abzuarbeiten gilt; idealtypische Bilder formulieren keine allgemein gültigen oder situativ-bedingten Handlungsaufforderungen. Vielmehr stellen sie bestimmte Haltungen perspektivisch in Aussicht, bei deren Einnahme der Unterricht grundlegendem Wissen über das Lernen und Lehren entsprechen kann. Zur Erleichterung der Lesbarkeit wird anstelle des Begriffs ‚idealtypische Unterrichtsbilder’ als Synonym auch gelegentlich die Formulierung ‚(qualitative) Ansprüche an Unterricht’ verwendet.

Die Namensgebung der Leitprinzipien ist angelehnt an Führer [1997], bei dem die verwendeten Bezeichnungen ebenfalls zu finden sind (zu den Seitenzahlen vgl. den Index bei Führer, S. 293-300). Sie werden auch in anderen schulisch-idealtypischen Unterrichtskonzepten diskutiert, wobei dann allerdings die dort verwendeten Konstrukte zu den hier gewählten

zum Teil ‚quer liegen’:

So verwenden z.B. auch Müller/Steinbring/Wittmann [1997] inhaltlich ähnliche Strukturierungen. Die hier gewählte Bezeichnung ‚Selbsttätigkeit’ ist u. a. im „aktiv-entdeckenden und sozialen Lernen“ der drei Autoren enthalten (S. 10); ‚Subjektorientierung’ in den Ansprüchen „Individuell“ und „Gemeinsam lernen: Arbeit an Themen in mehreren Durchgängen“ (S. 22), „Lehren: In der Ruhe liegt die Kraft“ (S. 25) und „Lernschwierigkeiten: Hilfe zur Selbsthilfe anbieten“ (S.21 -25);

‚Prozess- und problemorientierte Interaktionen’ findet sich ebenfalls in den Prinzipien „Individuell“ und „Gemeinsam lernen: Arbeit an Themen in mehreren Durchgängen“ (S. 22) wieder; ‚Strukturdenken’ in den Leitprinzipien „Lernen: Das Knüpfen eines Netzes“, „Lernumgebungen: Ohne Fachstrukturen geht es nicht“ (S. 21 u. 23) und „Lehren als Organisation von Lernprozessen“ (S. 11); ‚Entdeckende Lernprozesse’ in den z. T. bereits genannten Bildern „aktiv-entdeckendes und soziales Lernen“ (S. 10), „Lernen: Das Knüpfen eines Netzes“ (S. 21) und „Individuell lernen“ (S. 22); ‚Anwendungsorientierung’ in den Bildern von „Mathematik als nützliches Werkzeug“ (S. 15) und „Mathematik als formales System“ (S. 16).

Vgl. Führer [1997], S. 50f..

Vgl. Kaiser-Messmer [1989], S. 332ff..

1. „Nacherfinden“ von Freudenthal Hans Freudenthal galt „schon als international bedeutender Fachmathematiker [...], bevor er sich Schulfragen widmete“ (Führer [1997], S. 50), er kann somit als beobachtender Mathematiker eingestuft werden. Dementsprechend proklamiert Freudenthal seine idealtypischen Bilder mit der Intention, dass Schüler den Wert von Mathematik als „disciplina mentis“ wahrnehmen sollen. Diese Schulung des Verstandes spricht den Zusammenhang zwischen zwei Ebenen an: Der Umgang mit den formallogischen Aspekten des mathematischen Denkens hilft, außermathematische Gedankengänge logisch schlüssig zu vollziehen; und andersherum hilft eine Schulung außermathematischen logischen Denkens, formallogische mathematische Schlüsse zu vollbringen.

Mit dieser Intention stellt Freudenthal 19735 in seinem bahnbrechenden Werk „Mathematik als pädagogische Aufgabe“ die „Beziehungshaltigkeit“ in den Vordergrund, womit er die Beziehungen von Mathematik zur Wirklichkeit meint. Durch die Vermittlung von dem Schüler natürlich erscheinenden Beziehungshaltigkeiten verknüpft der Lernende mathematisches Wissen mit seinem bereits vorhandenen Wissen, so dass das Wissen bleibende Wirkung hat. Dabei ist weniger entscheidend, welche Lerninhalte vermittelt werden.



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