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«1. Die beteiligten Personen Eine sehr kurze Beschreibung über die Geburt der Stochastik gibt der französische Mathematiker Simeon Denis Poisson. Er ...»

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Die Geburt der Stochastik

Helmut Wirths, Oldenburg

Zusammenfassung: Wer versucht, Geschichte der Mathematik in den Unterricht mit einzubeziehen, trifft meist auf reges Interesse bei den Schülerinnen und Schülern. In diesem Aufsatz

wird Material dargestellt, das im Zusammenhang mit der Frage nach den Anfängen der Stochastik als selbständiges Gebiet innerhalb der Mathematik zusammengestellt wurde. Der Beitrag

gliedert sich nach Fragen, die von Lernenden häufig gestellt werden: Welche Personen waren beteiligt? Welche Probleme wurden damals diskutiert? Worin bestand das Neuartige? Warum setzt man die Geburt der Stochastik im Jahr 1654 an? Gab es vorher keine Stochastik oder kein stochastisches Denken? Am Ende dieses Beitrags werden Vorschläge zur Einbettung in den Unterricht gemacht.

1. Die beteiligten Personen Eine sehr kurze Beschreibung über die Geburt der Stochastik gibt der französische Mathematiker Simeon Denis Poisson. Er schreibt 1837 im Vorwort seines Buchs „Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile, précédées des règles générales du calcul des probabilités“ auf Seite 1 : „Ein aus Glücksspielen stammendes Problem, das einem strengen Jansenisten [s. Anm. 1] von einem Weltmann unterbreitet wurde, war der Ursprung der Wahrscheinlichkeitsrechnung.“ Im Titel des Buchs von Poisson wird deutlich, in welche Richtung sich die Stochastik aus den Problemen über Glücksspiele heraus in fast 200 Jahren entwickelt hat, bei Poisson sind es Überlegungen über die Anwendung der Wahrscheinlichkeitsrechnung auf das Straf- und auf das Zivilrecht. Vielleicht gibt es inzwischen auch schon eine Vermutung, wer mit der Charakterisierung Jansenist gemeint ist, und um wen es sich bei dem Weltmann handelt.

Um weiteren Aufschluß zu erhalten, lassen wir mit Leibniz einen Zeitzeugen von damals zu Wort kommen: „Chevalier de Méré,..., ein Mann von durchdringendem Verstand, der sowohl Spieler als auch Philosoph war, gab den Mathematikern den Anstoß durch Fragen über Wetten.

Sie sollten herausfinden, wieviel ein Spieleinsatz wert ist, falls das Spiel in einem bestimmten Stadium während seiner Durchführung abgebrochen würde. Er veranlaßte seinen Freund Pascal, diesen Sachverhalt zu untersuchen. Die Frage erregte Aufsehen und führte Huygens dazu, seine Abhandlung über das Würfelspiel (De Aleae) zu schreiben. Andere Gelehrte ließen sich ebenfalls darauf ein. Man stellte einige Prinzipien auf. Ratspensionär de Witt benutzte sie in seinem Büchlein über Renten, das in Holländisch gedruckt wurde.“ (Leibniz, in Gerhard 1875-90) Leibniz hatte bei seinem Parisaufenthalt von 1572 bis 1576 alle Beteiligten mit Ausnahme von Pascal, der bereits verstorben war, kennengelernt. Pascals Schriften konnte er bei dessen Schwester studieren. Er hatte außerdem mit Mitgliedern der Gesprächsrunde um den Herzog von Stochastik in der Schule 19(1999) Nr. 3, 3-30 Roannez, die auch die im Zitat angesprochene Frage diskutiert hatten, Kontakt, der über den Parisaufenthalt hinaus erhalten blieb und in Briefen zum Beispiel an Herrn des Billettes überliefert ist.

Im letzten Satz des Zitats spricht Leibniz einen Aspekt seines eigenen Interesses an Stochastik an: die Anwendungen von Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik. Ausgangspunkt war die Aufforderung von Artus Gouffier Duc de Roannez, die jährliche Sterberate zu berechnen, wenn bekannt ist, daß von 64 Menschen 36 im Verlaufe von 10 Jahren verstorben sind (nach Hecht 1992, S. 73). Die Arbeiten von Johan de Witt über Renten, John Graunt über Demographie und Sir William Petty über politische Arithmetik greifen einen solchen Impuls auf. Damit werden Grundlagen für weitere Anwendungen der Stochastik gelegt.

Im Zitat von Leibniz werden direkt Beteiligte, aber auch schon Personen, die Probleme wie Lösungen aufgreifen und darauf aufbauen, deutlich: Chevalier de Méré, Blaise Pascal und sein Briefpartner Pierre de Fermat, Christiaan Huygens, Johan de Witt und nicht zuletzt auch Gottfried Wilhelm Leibniz. Waren sie sich damals bewußt, die Entstehung eines neuen Gebiets erlebt oder aus der Taufe gehoben zu haben? Lassen wir drei der unmittelbar beteiligten Personen zu Wort kommen: Blaise Pascal, Chevalier de Méré und Christiaan Huygens.

Pascal kündigte 1654 der damals noch privaten Pariser Akademie (ich folge hier Haller 1988, S.

266/7 u. Ineichen 1996, S. 144), in einem in lateinischer Sprache abgefaßten Schreiben an die „Celeberima Matheseos Academia Parisiensis“, seine weiteren Pläne an, darunter „eine völlig neue Abhandlung über ein bis heute absolut unerforschtes Gebiet, nämlich der Aufteilung der Chancen in Spielen, die dem Zufall unterworfen sind.... Und gerade hier muß man um so mehr durch Rechnung untersuchen, je weniger man Aufschluß durch Experimente erhält. Billigerweise sind nämlich die Ergebnisse eines ungewissen Geschehens mehr dem Eintreten durch Zufall als einer naturgegebenen Notwendigkeit zuzuschreiben. Deswegen irrte bis heute dieses Gebiet unentschieden umher; jetzt aber konnte es, das der Erfahrung gegenüber so widerspenstig war, dem Reich des klaren Denkens nicht mehr entfliehen. Wir haben es mit solcher Sicherheit mittels der Mathematik zu einer exakten Wissenschaft gemacht, daß diese, teilhabend an der Genauigkeit jener, schon kühne Fortschritte macht; sie verbindet die Strenge der mathematischen Beweisführung mit der Ungewißheit des Zufalls, wodurch sie scheinbar Gegensätzliches vereinigt, und nimmt so, sich nach beiden nennend, mit Recht einen staunenerregenden Namen an: Mathematik des Zufalls.“ (s. Anm. 2).





Bei der angekündigten Abhandlung handelt es sich um den „Traité du triangle arithmétique“. In der Nacht vom 23. auf den 24. November 1654 erlebte Pascal seine zweite mystische Erweckung; er läßt sein bereits gedrucktes Traktat nicht mehr ausliefern und zieht sich nach Port Royal zurück. Der „Traité du triangle arithmétique“ erschien erst 1665, also nach Pascals Tod.

Der Chevalier de Méré schrieb an Pascal: „Sie wissen, daß ich Dinge in der Mathematik entdeckt habe, die so ausgefallen sind, daß sie die Gelehrten der Antike nicht diskutiert haben, und die die heutigen Mathematiker in Europa überrascht haben. Sie haben über meine Entdeckungen geschrieben, ebenso Huygens, Fermat und viele andere, die sie bewundert haben.“ Dies Zitat kann die Phantasie zu Vermutungen über die Ursache solch einer Äußerung anregen. Interessant ist die Reaktion von Leibniz, der in einem Brief an Herrn des Billettes meint: „Ich habe gelacht über die Anmaßung des Chevalier de Méré in seinem Brief an Pascal.“ (nach Hacking S. 61) Christiaan Huygens hörte zwar 1656 anläßlich seines ersten Aufenthalts in Paris von dem Briefwechsel zwischen Pascal und Fermat, konnte aber über die von beiden benutzten Methoden nichts in Erfahrung bringen. (Ich folge hier Haller 1988, S. 267 und Schneider 1988, S. 3/4).

„Diese hielten jede ihrer Methoden so sehr geheim, daß ich die gesamte Materie von den Anfangsgründen an selbst entwickeln mußte.“ So steht es im Brief vom 28.9.1657 an seinen Lehrer Frans van Schooten. Huygens erarbeitete sich über den von ihm mit Hilfe des Prinzips der fairen Wette, das schon Cardano geläufig war, begründeten Begriffs des Erwartungswerts einen Zugang zur Behandlung zufälliger Ereignisse. Der aus diesen Arbeiten entstandene Aufsatz „Tractatus de ratiociniis in ludo aleae“ wurde 1657 als Anhang zu den „Exercitationum Mathematicarum Libri Quinque“ von Frans van Schooten veröffentlicht, der auch für die lateinische Übersetzung des von Huygens in holländischer Sprache geschriebenen Manuskripts verantwortlich war. Welche Bedeutung Huygens diesem neuen Gebiet zumißt, geht aus seinen Einführungsbemerkungen hervor: „Ich zweifle auf keinen Fall daran, daß derjenige, der tiefer das von uns Dargebotene zu untersuchen beginnt, sofort entdecken wird, daß es sich hier nicht, wie es scheint, um Spiel und Kurzweil geht, sondern die Grundlagen für eine schöne und überaus tiefe Theorie entwickelt werden.“ Aber für Huygens war diese neue Theorie Teil der Algebra (Ich folge hier Schneider in Scholz 1990, S. 243). 1656 schrieb er in einem Brief an Herrn Carcavi, der ihm den brieflichen Kontakt zu Pascal und Fermat vermittelt hatte, daß er sich bei allen Glücksspielproblemen seines Satzes zur Bestimmung des Erwartungswertes und der Algebra zur Lösung bediene. In seinem Brief an van Schooten, der als Einführung seinem Traktat vorangestellt wurde, wird er deutlicher: „Mein Herr, nachdem ich weiß, daß Sie bei der Veröffentlichung der löblichen Früchte Ihrer Einsicht und Ihrer Arbeit unter anderem dieses Ziel haben, nämlich, durch die Verschiedenheit der behandelten Gebiete zu betonen, wie weit sich unsere außerordentliche Kunst der Algebra erstreckt, zweifle ich auch nicht daran, daß die vorliegende Schrift über die Glücksspielrechnung Ihrem Ziel dienen könnte.“ Zwei gegensätzliche Ansichten über die Zuordnung der damals neuen Glücksspielrechnung: die von Pascal und die von Huygens. Jede vom Standpunkt ihres Vertreters her einleuchtend. Während der Algorithmus zur Berechnung des Erwartungswerts für sich genommen auch heute noch als algebraisches Element in der Stochastik angesehen werden kann, taucht mit dem Pascal=schen Weg tatsächlich eine neue Denkweise auf, die im folgenden Abschnitt dargestellt werden soll.

Zum Abschluß ein Zitat, das zeigt, wie man die Rolle des Chevalier de Méré auch in Auseinandersetzungen einbeziehen kann: „Der Chevalier de Méré darf, wie ich glaube, allen Widersachern der exakten Forschung, und es gibt deren zu jeder Zeit und überall, als ein warnendes Beispiel hingestellt werden; denn es kann auch diesen leicht begegnen, daß genau an jener Stelle, wo sie der Wissenschaft die tödliche Wunde zu geben suchen, ein neuer Zweig derselben, schöner, wenn möglich, und zukunftsreicher als alle früheren, rasch vor ihren Augen aufblüht - wie die Wahrscheinlichkeitsrechnung vor den Augen des Chevalier de Méré.“, so Georg Cantor 1873 in einem Vortrag über die Geschichte der Wahrscheinlichkeitsrechnung gehalten vor der Naturforschenden Gesellschaft in Halle (Meschkowski 1968, S. 13). Und wer an Cantors Bemühungen um Anerkennung der Mengenlehre und an seinen Konflikt mit Leopold Kronecker, den er in Briefen als seinen „Herrn von Méré“ bezeichnet, denkt, kann die Anspielung in Cantors Rede wohl deuten. Cantors Anspielung auf die tödliche Wunde wird nach Lektüre des problème des dés in Abschnitt 2 verständlich werden.

2. Die beiden Probleme Mit der Behandlung von zwei Problemen wurde im Briefwechsel zwischen Pascal und Fermat stochastisches Denken entfaltet: das Problem der Würfel (le problème des dés) und das Problem der Gewinnaufteilung nach Spielabbruch (le problème des partis).

Le problème des dés Pascal schreibt am Mittwoch, den 29. Juli 1654 an Fermat in seinem Brief, mit dem der Beginn der Stochastik als selbständiges Gebiet verbunden wird (Schneider 1988, S. 30): „Ich habe nicht die Zeit, Ihnen eine Schwierigkeit zu erläutern, die M... [de Méré] sehr befremdete, denn er ist ein sehr tüchtiger Kopf, aber er ist kein Mathematiker (das ist, wie Sie wissen, ein großer Mangel), und er begreift nicht einmal, daß eine mathematische Linie bis ins Unendliche reicht, und ist zutiefst davon überzeugt, daß sie sich aus einer endlichen Zahl von Punkten zusammensetzt;

ich habe ihn niemals davon abbringen können. Wenn Sie das zustande brächten, würden Sie ihn vollkommen machen.

Er sagte mir also, daß er aus folgendem Grund einen Fehler in den Zahlen gefunden habe: Wenn man versucht, mit einem Würfel eine Sechs zu werfen, dann ist es von Vorteil, dies mit 4 Würfen zu tun, und zwar wie 671 zu 625. Wenn man versucht, mit 2 Würfeln eine Doppelsechs zu werfen, ist es von Nachteil, dies mit 24 Würfen zu tun. Dennoch verhält sich 24 zu 36 (was die Anzahl der Ergebnisse von zwei Würfeln ist) wie 4 zu 6 (was die Anzahl der Ergebnisse eines Würfels ist). Das ist es, woran er so großen Anstoß nahm und was ihn dazu veranlaßte, öffentlich zu behaupten, daß die Aussagen der Mathematik unsicher seien, und daß die Arithmetik sich widerspreche. Aber Sie werden den Grund dafür sehr leicht verstehen mit Hilfe der Prinzipien, auf denen Sie aufbauen.“ Székely (1990, S. 14-18) bezeichnet daher dieses Problem als „Paradoxon von de Méré“. Interessant ist Pascals Charakterisierung eines tüchtigen Kopfs, der kein Mathematiker ist.

Aber nun zum eigentlichen Problem: Stellen wir uns vor, ich wette auf das Eintreten einer "6 beim Würfeln mit 1 Würfel" oder im anderen Fall auf das Eintreten einer „Doppelsechs beim Werfen mit 2 Würfeln“. Dies sei das Ereignis E. Jemand anderes wettet auf das Eintreten des jeweiligen Gegenereignisses ¬E. Für mich ist die Wette von Vorteil, wenn meine Gewinnwahrscheinlichkeit P(E) größer als die Gewinnwahrscheinlichkeit P(¬E) meines Gegners ist. Es muß also P(E) P(¬E) oder äquivalent umgeformt P(E) 0,5 sein.

Die Frage von de Méré übersetze ich in unsere aktuelle Fachsprache „Wie oft muß ich mindestens würfeln, damit meine Gewinnwahrscheinlichkeit P(E) größer als 0,5 ist.“ Dabei würfle ich im ersten Fall mit 1 Würfel und erhalte bei jedem Versuch mit der Wahrscheinlichkeit p = 1/6 eine „6“. Im zweiten Fall würfle ich mit 2 Würfeln und erreiche bei jedem Versuch mit der Wahrscheinlichkeit p = 1/36 eine Doppelsechs. Das für mich günstige Ereignis E beschreibe ich im ersten Fall durch „Nach n Würfen habe ich wenigstens einmal eine 6 erhalten.“ und im zweiten Fall durch „Nach n Versuchen habe ich wenigstens einmal eine Doppelsechs bekommen.“ Entsprechend gilt für das für mich ungünstige Gegenereignis ¬E „Nach n Versuchen habe ich keinmal eine 6 erzielt.“ sowie „Nach n Versuchen habe ich keinmal eine Doppelsechs bekommen.“ <

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3. Zur Vorgeschichte In Abschnitt 2 wurden die Lösungen der Probleme mit Darstellungsmöglichkeiten unserer Zeit vorgestellt. Damals waren weder die Darstellung mehrstufiger Zufallsversuche in Baumdiagrammen noch die Regeln zur Berechnung von Ereigniswahrscheinlichkeiten bekannt, geschweige denn gab es eine Vorstellung von Wahrscheinlichkeit in unserem Sinn. Auch waren diese Probleme nicht neu. Lösungen wurden bereits vorher diskutiert. Das soll nun dargestellt werden.



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